Les sept grands problèmes non résolus, également appelés les sept problèmes du prix du millénaire, sont des problèmes mathématiques célèbres qui n'ont pas encore de solution complète. Ils ont été sélectionnés en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay, qui a offert 1 million de dollars pour la première solution correcte à chacun de ces problèmes.
Ces sept problèmes ont résisté aux efforts de résolution des plus grands mathématiciens depuis des décennies, voire des siècles. Ils touchent à des domaines fondamentaux des mathématiques tels que la théorie des nombres, l'analyse, l'algèbre et la géométrie. Malgré les immenses progrès des mathématiques modernes, ces sept problèmes demeurent totalement ouverts.
Leur résolution apporterait des avancées majeures dans la compréhension des mathématiques. C'est pourquoi l'Institut Clay a mis en jeu une récompense d'un million de dollars pour stimuler les recherches. Ces problèmes représentent certains des défis les plus profonds et les plus difficiles de l'histoire des mathématiques.
L’hypothèse de Riemann
L'hypothèse de Riemann est l'une des plus célèbres conjectures non résolues en mathématiques. Énoncée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, elle concerne la distribution des nombres premiers.
Origine
Riemann a étudié la fonction zêta, qui permet de relier les nombres premiers aux racines complexes. Il a ainsi émis l'hypothèse que toutes les solutions non triviales de l'équation ζ(s) = 0 ont une partie réelle égale à 1/2. Cette hypothèse permettait d'expliquer la répartition des nombres premiers.
Énoncé
Formellement, l'hypothèse de Riemann s'énonce ainsi :
Les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2.
Applications
L'hypothèse de Riemann a de nombreuses implications en théorie analytique des nombres. Elle permettrait notamment de mieux comprendre la distribution des nombres premiers. Plus précisément, elle impliquerait une version fortifiée du théorème des nombres premiers.
Tentatives de preuve
Malgré les efforts de nombreux mathématiciens, l'hypothèse de Riemann reste non démontrée. Des avancées importantes ont toutefois été réalisées, notamment par les mathématiciens Hadamard et de la Vallée-Poussin qui ont prouvé l'équivalent du théorème des nombres premiers. Plus récemment, des travaux autour de la correspondance de Langlands ont relancé l'intérêt pour cette conjecture.
L'hypothèse de Riemann demeure parmi les plus grands problèmes ouverts des mathématiques. Sa résolution apporterait des avancées majeures en théorie analytique des nombres.
L’hypothèse de Poincaré
Origine
L'hypothèse de Poincaré tire son nom du mathématicien français Henri Poincaré. Elle a été formulée à l'origine dans son mémoire de 1885 intitulé « Sur les groupes d'équations linéaires ».
Énoncé
L'hypothèse de Poincaré stipule que toute variété différentielle compacte et simplement connexe est un espace sphérique. En termes plus simples, cela signifie que toute surface « fermée » et sans « trou » a la même forme qu'une sphère ordinaire.
Implications
Si l'hypothèse de Poincaré est vraie, elle aurait des implications profondes en topologie et en géométrie. Elle impliquerait que toute variété 3-dimensionnelle compacte et simplement connexe est homéomorphe à la 3-sphère S3.
Approches
Plusieurs approches ont été explorées pour tenter de prouver l'hypothèse de Poincaré. L'une des principales approches a été d'essayer de classifier toutes les variétés 3-dimensionnelles en utilisant la théorie de la chirurgie de dimension 3. Une autre approche a été d'étudier la conjecture de geometrisation de Thurston, qui impliquerait l'hypothèse de Poincaré en dimension 3. Malgré ces efforts, l'hypothèse de Poincaré reste l'une des plus célèbres conjectures non résolues en topologie.
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer concerne les courbes elliptiques définies sur les nombres rationnels. Elle établit une relation entre la valeur en 1 de la fonction L de Hasse-Weil associée à la courbe elliptique et le rang du groupe des points rationnels de la courbe.
Origine
Cette conjecture a été formulée en 1965 par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer. Elle généralise la loi de réciprocité quadratique et le théorème de Mordell-Weil.
Liens avec les courbes elliptiques
Soit E une courbe elliptique sur Q. On note r le rang du groupe E(Q) des points rationnels de E.
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer affirme que:
r = ord_{s=1} L(E, s)
où L(E,s) est la fonction L associée à E.
Cette égalité lie de façon très précise la géométrie de la courbe E et l'analyse complexe de la fonction L.
Conséquences si résolue
La résolution de cette conjecture aurait de nombreuses conséquences:
- Elle permettrait de calculer le rang du groupe E(Q), un invariant fondamental mais difficile à déterminer.
- Elle établirait l'équivalence entre la finitude du groupe des points rationnels et l'annulation de la fonction L.
- Elle fournirait une méthode algorithmique pour déterminer si une courbe elliptique sur Q possède un nombre fini ou infini de points rationnels.
- Elle apporterait une compréhension profonde du lien entre la géométrie des courbes elliptiques et la théorie analytique des nombres.
L’hypothèse de Hodge
L'hypothèse de Hodge est une conjecture en géométrie algébrique énoncée par William Vallance Douglas Hodge en 1930. Elle concerne les invariants de Hodge, qui décrivent la structure de la cohomologie des variétés algébriques projectives lisses.
Origine
L'hypothèse de Hodge provient de l'étude des intégrales abéliennes, qui sont des objets fondamentaux en géométrie algébrique. Hodge a montré que pour une variété projective lisse, sa cohomologie peut être décomposée de manière très précise grâce aux invariants qui portent désormais son nom. L'hypothèse de Hodge prédit que cette décomposition subsiste pour les variétés algébriques projectives normales.
Liens avec la topologie algébrique
Les invariants de Hodge encodent des informations fines sur la topologie d'une variété algébrique. Ils sont profondément liés à d'autres invariants topologiques tels que les nombres de Betti. L'hypothèse de Hodge établit des ponts entre cohomologie algébrique et topologie algébrique. Elle permet notamment de comparer les invariants de variétés algébriques définies sur des corps différents.
Avancées récentes
Des progrès importants ont été accomplis ces dernières années vers une démonstration de l'hypothèse de Hodge, notamment par Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon et James McKernan. Leurs travaux s'appuient sur des techniques issues de la géométrie birationnelle. Bien que la conjecture reste ouverte, ces avancées laissent entrevoir une possible résolution dans un futur proche.
La conjecture de P vs NP
La conjecture de P vs NP est l'un des sept grands problèmes du prix du millénaire. Elle concerne la complexité des algorithmes.
Définition des classes P et NP
- La classe P contient les problèmes qui peuvent être résolus en un temps polynomial par une machine de Turing déterministe.
- La classe NP contient les problèmes dont la solution peut être vérifiée en un temps polynomial par une machine de Turing déterministe.
On conjecture que P ≠ NP, c'est-à-dire qu'il existe des problèmes dans NP qui ne sont pas dans P. Autrement dit, il existerait des problèmes qu'on peut vérifier efficacement, mais qu'on ne peut pas résoudre efficacement.
Implications
Si P = NP, de nombreux problèmes considérés comme difficiles deviendraient facilement résolubles. Cela aurait des conséquences considérables en cryptographie notamment.
Si P ≠ NP, cela ne nous donnerait pas d'information sur la difficulté de résoudre des problèmes NP-complets. Leur résolution pourrait requérir une croissance exponentielle ou sous-exponentielle.
Approches de résolution
Plusieurs approches ont été explorées pour résoudre cette conjecture:
- Trouver un algorithme polynomial pour un problème NP-complet
- Prouver qu'aucun algorithme polynomial n'existe pour ces problèmes
- Trouver un problème intermédiaire entre P et NP-complet
Malgré les efforts, la conjecture reste non résolue à ce jour. Sa résolution constituerait une avancée majeure en informatique théorique.
L’hypothèse de Riemann généralisée
L'hypothèse de Riemann généralisée est une conjecture en théorie analytique des nombres qui généralise l'hypothèse de Riemann originale. Elle concerne la distribution des zéros non triviaux de fonctions L attachées à des formes automorphes.
Liens avec l’hypothèse de Riemann
L'hypothèse de Riemann généralisée implique l'hypothèse de Riemann originale. En effet, l'hypothèse de Riemann peut être vue comme le cas particulier de l'hypothèse de Riemann généralisée pour la fonction zêta de Riemann. Ainsi, prouver l'hypothèse de Riemann généralisée serait une avancée majeure vers la résolution du problème original.
Énoncé
L'hypothèse de Riemann généralisée stipule que les zéros non triviaux des fonctions L attachées à des formes automorphes sont situés sur la droite critique complexe. Autrement dit, leurs parties réelles sont égales à 1/2.
Conséquences
La validation de l'hypothèse de Riemann généralisée aurait des conséquences profondes en théorie analytique des nombres. Elle impliquerait des résultats précis sur la distribution des nombres premiers et la structure des extensions abéliennes sur les corps de nombres. Malgré des progrès récents, ce problème reste l'un des plus difficiles en mathématiques.
Le problème de Yang-Mills
Le problème de Yang-Mills a été formulé dans les années 1950 par le physicien Chen Ning Yang et le mathématicien Robert Mills. Il s'agit d'un problème mathématique fondamental en théorie quantique des champs, qui décrit les interactions fondamentales entre les particules élémentaires.
Origine
Le problème de Yang-Mills trouve son origine dans la théorie de jauge, une théorie physique qui décrit les interactions élémentaires. Chen Ning Yang et Robert Mills ont montré que pour que la théorie de jauge soit invariante par transformation de jauge localement, il fallait introduire un nouveau champ, appelé le champ de jauge. Les équations régissant la dynamique de ce champ sont appelées les équations de Yang-Mills.
Lien avec la physique théorique
Les équations de Yang-Mills jouent un rôle central en physique théorique et en particulier dans le Modèle Standard de la physique des particules. Elles décrivent les interactions fondamentales entre particules médiées par l'échange de bosons vecteurs comme les photons, les gluons, les bosons W et Z.
Ces équations permettent notamment d'unifier les interactions électromagnétique et faible en une seule théorie électrofaible. Elles ont donc des implications majeures en physique des hautes énergies.
Difficultés
Bien que les équations de Yang-Mills soient fondamentales en physique théorique, elles présentent de nombreuses difficultés mathématiques.
Notamment, l'existence et l'unicité des solutions de ces équations n'ont pas encore été démontrées de manière rigoureuse en mathématiques. De plus, leur comportement dans certains régimes, comme aux très hautes énergies, n'est pas bien compris.
Résoudre le problème de Yang-Mills permettrait donc de mieux comprendre les fondements mathématiques des interactions fondamentales, et d'apporter des réponses cruciales en physique théorique des particules. C'est l'un des problèmes mathématiques les plus importants restant à résoudre.
Le problème de Navier-Stokes
Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides. Elles ont été dérivées par Claude-Louis Navier et George Gabriel Stokes au 19ème siècle. Ces équations non linéaires aux dérivées partielles sont utilisées dans de nombreux domaines comme la météorologie, l'océanographie, l'ingénierie, la physique et même l'astrophysique.
Elles modélisent des phénomènes complexes comme la turbulence, ce qui rend leur résolution analytique difficile. Le problème de Navier-Stokes consiste à démontrer l'existence et la régularité des solutions de ces équations. Plus précisément, il s'agit de montrer que pour des conditions initiales arbitraires, les solutions restent suffisamment régulières pour tout temps.
Malgré de nombreuses tentatives, ce problème n'est toujours pas résolu. En 2000, l'Institut Clay a même offert un prix d'un million de dollars pour sa résolution. Récemment, des progrès ont été faits en dimension 2 et 3, mais le cas général en dimension supérieure reste ouvert. La résolution complète du problème de Navier-Stokes aurait d'importantes implications pratiques et théoriques.
Conclusion
Cet article a mis en lumière les sept problèmes mathématiques encore non résolus à ce jour et considérés comme les plus importants par de nombreux mathématiciens. Résumons brièvement chacun d'entre eux:
- L'hypothèse de Riemann concerne la distribution des nombres premiers et demeure l'un des problèmes les plus célèbres et difficiles en théorie analytique des nombres.
- L'hypothèse de Poincaré, liée à la topologie algébrique, cherche à classifier les variétés 3-dimensionnelles compactes simplement connexes.
- La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est une conjecture profonde sur les courbes elliptiques sur les corps de nombres.
- L'hypothèse de Hodge postule une caractérisation simple des classes de cohomologie entières sur une variété projective non singulière.
- La conjecture P vs NP est une question fondamentale en théorie de la complexité algorithmique. Elle demande s'il existe des algorithmes polynomialement plus efficaces pour résoudre certains problèmes.
- L'hypothèse de Riemann généralisée étend l'hypothèse de Riemann aux fonctions L de motifs sur les corps de fonctions.
- Le problème de Yang-Mills cherche l'existence de certaines équations aux dérivées partielles non linéaires issus de la physique mathématique.
- Le problème de Navier-Stokes concerne l'existence de solutions régulières pour les équations décrivant le mouvement des fluides visqueux.
Bien que la résolution de ces problèmes semble encore lointaine, les perspectives sont passionnantes. Leur résolution apporterait des avancées profondes dans plusieurs domaines des mathématiques et au-delà. Les chercheurs du monde entier restent mobilisés et motivés pour relever ces défis mathématiques fascinants.
